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什么是排列组合,
分析:∵ 连续命中的三b88枪88b与单独命中的一b88枪88b不能相邻,因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别,不必计数。即在四发空b88枪88b之间形成的5个空中选出2个的排列,即P(5.2)。
例13. 马路上有编号为l,2,3,……,10 十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?
分析:即关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共C(6.3)=20种方法。
4.间接计数法.(1)排除法
例14. 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析:有些问题正面求解有一定困难,可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数,
∴ 共C(9.3)-8种。
例15.正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?
分析:所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数,
∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个。
例16. l,2,3,……,9中取出两个分别作为对数的底数和真数,可组成多少个不同数值的对数?
分析:由于底数不能为1。
(1)当1选上时,1必为真数,∴ 有一种情况。
(2)当不选1时,从2--9中任取两个分别作为底数,真数,共,其中log24=log39,log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53个。
(3)补上一个阶段,转化为熟悉的问题
例17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相邻),共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
分析:(一)实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称,具有相同的排法数。因而有=360种。
(二)先考虑六人全排列;其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位,因而前面的排法数重复了种, ∴ 共=120种。
例18.5男4女排成一排,要求男生必须按从高到矮的顺序,共有多少种不同的方法?
分析:首先不考虑男生的站位要求,共种;男生从左至右按从高到矮的顺序,只有一种站法,因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序,只有一种站法, 同理也有3024种,综上,有6048种。
例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行,共有多少种不同的方法?
分析:先认为三个红球互不相同,共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下,共有变化,因而共=20种。
5.挡板的使用
例20.10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?
分析:把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。
6.注意排列组合的区别与联系:所有的排列都可以看作是先取组合,再做全排列;同样,组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
例21. 从0,l,2,……,9中取出2个偶数数字,3个奇数数字,可组成多少个无重复数字的五位数?
分析:先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。
(一)两个选出的偶数含0,则有种。
(二)两个选出的偶数字不含0,则有种。
例22. 电梯有7位乘客,在10层楼房的每一层停留,如果三位乘客从同一层出去,另外两位在同一层出去,最后两人各从不同的楼层出去,有多少种不同的下楼方法?
分析:(一)先把7位乘客分成3人,2人,一人,一人四组,有种。
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