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数学 历史的启示,
由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”。“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”，“算术”顾名思义，可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了千年。但在中学的课程中，却只花短短的几年，就可以全部学会这些内容。
回忆我在童年时代，在小学学习“算术”课程时，感到很难，例如：求解“鸡兔同笼”题，即：一个笼子中关着若干只鸡，若干只兔，已知共有多少个头，多少只脚，求有多少只鸡，多少只兔？当时老师讲的求解的方法，现在已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是：鸡与兔为何要关在一个笼子里？既数得清有多少个头及多少只脚？为何数不清有多少只鸡与多少只兔？等到
初中时，学习了“代数”课程，才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数方程组，解方程组十分简单方便，这不仅可以用来解“鸡兔同笼”，即使将鸭与狗关在一个房间中，来数头数与脚数，不妨叫做“鸭狗同室”问题，对这样的问题一样可以解。因之，“代数”显然比“算术”来得“高级”，这的确是“更有力的工具和更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算术”可以理解得更深刻，而可以把“算术”中一些复杂的，处理个别问题的方法抛到一边去。
在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”，是“更有力的工具与更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了，因为：
（1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如四则运算等；
（2）即使能被替代的内容，适当的学习一些，有利于对“代数”内容的认识与理解；
（3）从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的接受
能力的问题等等。
作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组，在中学“代数”的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法往往是消元法。但是如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”，由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“矩阵”的发现，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚、更为深刻，由于有了统一处理方法，可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。
当然，“线性代数”是
大学的课程，但它的产生的确再次印证了Hilbert所说的那段话。在中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法，后来有很多的发展，直到al-khowarizmi（约783—850）相当于给出了一般形式的一元二次方程。
1545年G.Cardano（1501-1576）公布了由N.Fontana（1499－1557）发现了解一元三次方程的解，而一元四次方程的解由L.Ferrari（1522—1565）所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式解，即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算来表达方程的解。经过了二个世纪的努力，大批数学家都失败了，直到1770年J.·Lagrange（1736—1813）看到了五次及高次方程不可能做到这点，又过了半个世纪，1824年，N.·Abel（1802—1829）解决了这个问题，即对于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么样的特殊的代数方程能用根式来求解，这是E·Galois（1811—1832）所解决，而更为重要的是：为了解决这个问题，他建立起“群”的概念，这就意味着现代代数理论的产生，这是又一次“数学中真正的进展”。它是由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“群”的发现而造成的，有了“群”以及后来发展起来的现代代数理论，可以更清楚、更深刻
地理解以往高次代数方程求根式解的问题，而的确可以把以往那些“陈旧的、复杂的东西抛到一边”。
虽然“群”等近代代数的内容已超出中学教学的内容，但代数方程求根式解问题的提出到彻底解决，这三百年的过程，十分确切地印证了前面不断重复的Hilbert所说的那段话。
“群”的作用在历史上及现代数学中都是不可估量的。例如：1872年Klein提出著名的ErlangerProgramm，即认为各种几何学就是研究各种不同变换群下的不变性质。这个数学思想，不仅对几何学的发展，而且对整个数学的发展起了巨大的作用。
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