21.2锐角的三角函数值
一、教法设想：
通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当∠A=30°, ∠A=45°, 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是 和 ，这是为什么呢？
由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角A取一个固定值，∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0< sinA < 1, 0< cosA< 1（∠A为锐角）.
再分别求出30°，45°，60°特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.
根据30°，45°，60°正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在0°—90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然. 正确处理好修正值.
对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2A+ cos2A = 1”这一重要关系式.
在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授 这些重要关系式.
在教学中对0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记.
表I：
三角函数 30° 45° 60°
Sinα
Cosα
tgα
口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七.
表II.
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
Sinα
Cosα
tgα 0
1
──
ctgα ──
1
0
口决：0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢.
第二行左右倒，三，四行靠推导.
【指点迷津】
本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向. 因此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用. 用其法解决生活中的实际问题. 达到得心应手.
二、学海导航：
【思维基础】
1. 锐角三角函数定义
Rt△ABC中，∠C= 90°，AB= c，BC= a，AC= b， 则∠A的正弦，余弦，正切，余切分别是：SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为∠A的锐角三角函数. （1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取_________，且A为锐角时，SinA，CosA均在______~ ______内取值.
2. 特殊角的三角函数值（完成下表）
0° 30° 45° 60° 90° 增减值
Sinα
Cosα
tgα
ctgα
3. 互余角间的三角函数关系，△ABC中，∠C= 90°，A + B = 90°，∠B =90°－A，则有：
Sin(90°－A) = ___________
Cos(90°－A) = ___________
tg (90°－A) = ___________
Ctg(90°－A) = ___________.
4. 同角三角函数关系公式：（∠A为锐角）.
（1）Sin2A + Cos2A = ___________; Cos2A = ___________, Sin2A = ____________.
【学法指要】
例1. 如果∠A为锐角，CosA= ，那么（ ）
A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45°
C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90°
思路分析：
当角度在0°~ 90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）.
∴ 60°< A < 90° 应选D
例2. 当45°< X < 90°时，有（ ）
A. Sin x > Cos x > tg x B. tg x > Cos x > Sin x
C. Cos x > Sin x > tg x D. tg x > Sin x > Cos x
思路分析： ∵ 45°< x < 90° ∴ 取A = 60°
， ∴tg x > Sin x > Cos x
∴ 应选D
解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取x = 60°在45°< x < 90°的范围内，很快可知Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值，谁大谁小，相形见绌. 因之，在解决有关选择题时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线等），可巧夺天工.
例3. 计算：
思咯分析：若a≠0时 , a0 = 1
对此项中的Sin36°是一项干扰支. 迷惑同学们，因为Sin36°，不是表内特殊值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然. 不需要求Sin36°之值，只需要知道 即可. 因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一. 要准确无误代入三角函数值；二. 要按照实数的运算法则进行运算；三. 运算的结果必须是最简关系式. 于是对上式便一目了然了.
例4. 已知方程 的两根为 tgθ, ctgθ,求k和θ，（θ为锐角）
思路分析：∵tgθ, ctgθ为二次方程 的二根，根据与系数关系式，得
∵tgθ• ctgθ=1 ∴k = 1
∴原方程为
即tgθ= , ctgθ= 或 tgθ= , ctg =
故θ¬1=30° θ2 = 60°
锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.
例5. 在△ABC中，三边之比a：b：c = 1： ：2，则SinA + tgA等于（ ）
A. B.
C. D.
思路分析：∵ a：b：c = 1： ：2
∴ 可设a = k, b = k , c = 2k ( k > 0 )
∴a2 + b2 = k2 + ( k)2= 4k2 = (2k)2 = c2
∴ △ABC是直角三角形，且∠C= 90°
根据三角函数定义，可知：
∴△ABC是直角三角形，且∠C= 90°
根据三角函数定义，可知：
∴SinA + tg A
∴ 应选（A）
对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角 形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”.