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初中数学《锐 角的三角函数值》教案,
【思维体操】
例1. 已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高，在△ADB及△ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：AE= AF.
揭示思路1：设∠ABC= α. 正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a , b
∵AD = AG + DG = a•tgα + a
AD = AH + DH = b•Ctgα+b
∴a tgα + a = b ctgα+b
∴
= b•ctgα= AH.
∴AE = AF
揭示思路2：
设BC = a , 且∠ABC=α，则有
AB = a cosα
同理：
∴AE = AF
由上两种思路证得AE= AF， 可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形. 便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的. 题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果. 现沿这思路继续扩散.
扩散一：
如图，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：EF2 = BE•FC
揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.
在Rt△BDE中，
在Rt△GFC中，
∵∠B + ∠C =90°，∴tgB = tg(90°－ C) = ctgC
∴
∵DE = GF = EF
∴EF2 = BE•CF
扩散二：
在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN， 过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：BC = DF + EG
提示思路：观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC. 便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散. 设法作AH⊥BC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系. 此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！
在Rt△EGC中，
∴EG = b cosβ
在Rt△DBF中，同理，DF = c cosα（设b, c , α,β如图）
∴EG + DF = b Cosβ + c cosα
在 Rt△ABH中，BH = c cosα
在 Rt△ACH中，CH = b cosβ
∵BC = BH + CH , ∴BC = b cosβ + c cosα
∴BC = EG + DF
扩散三：
设顶角A = 108°的等腰三角形的高为h，∠A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：
揭示思路： 从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.
如图，设△ABC的底边上的高AH = h , ∠A的三等分线AD= P1， ∠A的外角四等线AE = P2，∠BAC= 108°，AB = AC，
∴∠DAH = 18°
在Rt△ADH中，cos18°=
∵ ∠CAE = (180°－108°)= 18°
∠ACB = (180°－108°)= 36°
∴∠AEC = 18°
在Rt△AHE中，Sin18°=
扩散四：
已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D、E、F.
求证：
揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.
设∠ABC = α，则∠DAF = ∠CDF= α
扩散五：
在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC = 20F
揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.
∠BEF = ∠ACB + ∠EAC = 45°+∠BAE
∵∠BFE= ∠CAE, ∴∠BEF = ∠BFE,
∴BE = BF
进而可知AD = DF
设正方表ABCD边长为1，又设∠BAE = ∠CAE =α
则OA= OB =
在Rt△ABE中，BE = AB•tgα= BF
BF = OB－OF = OB － OA•tgα
∴ABtgα= OB － OAtgα
∴OF = OA•tgα= ( －1)
EC= BC－BE = 1－1•tgα= 1－ +1 = 2 － = ( －1)
∴EC = 20F
应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明. 同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.
三、智能显示
【动脑动手】
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则SinB + CosB的值（ ）
（A）大于1 （B）小于1
（C）等于1 （D）不确定
2. 在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx + 1 = 0的两个根，求a，b，c及S△ABC
3.证明：“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）
求证：AA＇ + CC＇=BB＇ + DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）. 从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.
揭示思路：1. 在Rt△ABC中，∠C= 90°
由锐角三角函数定义，得
∵a + b > c
∴SinB + CosB > 1 , 应选A.
2. ∵SinC = 1 , ∴∠C = 90°
∵SinA + CosB = ,SinA CosB =
又A + B = 90°, ∴B = 90°－A
∴CosB = Cos(90°－A ) = SinA
∴c = 4 , A= 30°, a = 2 , b =
3. 猜想如下：
对于中图有：CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
对于右图有：CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
证法1. 如图,设∠AEA＇= α,则AA＇= AESinα= (OA－OE)Sinα= OASinα－OESinα，又CC＇= CESinα= (OC + OE ) Sinα= (OA + OE ) Sinα = OASinα+ OESinα
∴CC＇－ AA＇= 2OESinα
∵OO＇= OESinα, ∴CC＇－ AA＇= 2OO＇
由题设知，OO’为梯形BB’D’D的中位线.
∴BB＇+ DD＇= 2OO＇
∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
（2）如图，仿（1）证法可得
CC＇－ AA＇= 2OESinα
DD＇－BB = 2OFSinβ
∵OESinα= OFSinβ,
∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
证法二：（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F， 又设∠AFA＇= α，则∠BEB＇= α，在Rt△EBB＇中，
∵BE= CE－ CB
∴BB＇= BESinα－ CBSinα
在R t△ECC＇中，Sinα= ,
∴CC’= CESinα
∵CC＇－ BB＇= BCSinα
在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中.
AA＇= AFSinα, DD＇= DFSinα
∵DF= AD － AF
∴DD＇= ADSinα－ AFSinA＇
∴DD＇= ADSinα－ AA＇
∴DD＇+ AA＇= ADSinα
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