高三数学不等式、推理与证明测试

高三数学章末综合测试题（11）不等式、推理与证明
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
            A．若a>b，则ac2>bc2               B．若ac>bc，则a>b
    C．若a3>b3且ab<0，则1a>1b   D．若a2>b2且ab>0，则1a<1b
　解析　C　当c＝0时，可知选项A不正确；当c<0时，可知B不正确；由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以1a>1b成立；当a<0且b<0时，可知D不正确．
2．若集合A＝{x||x－2|≤3，x∈R}，B＝{y|y＝1－x2，x∈R}，则A∩B＝(　　)
A．[0,1]   B．[0，＋∞)
C．[－1,1]   D．∅
　解析　C　由|x－2|≤3，得－1≤x≤5，即A＝{x|－1≤x≤5}；B＝{y|y≤1}．故A∩B＝[－1,1]．
3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　)
A．1   B．1＋2
C．1＋2＋22   D．1＋2＋22＋23
　解析　D　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.
4．已知x，y，z∈R＋，且xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)(y＋z)的最小值是(　　)
A．1   B．2 
C．3   D．4
　解析　B　∵(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋xz＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y×1xyz＋xz＝1xz＋xz≥21xz•xz＝2，当且仅当xz＝1，y(x＋y＋z)＝1时，取“＝”，
∴(x＋y)(y＋z)min＝2.
5．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0   B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0
C.a＋b22－1－a2b2≤0   D．(a2－1)(b2－1)≥0
　解析　D　因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
6．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题为真命题的是(　　)
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α       B．若m∥α，n∥α，则m∥n
           C．若m⊂α，n∥α，则m∥n       D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
　解析　C　对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．
7．若不等式2x2＋2kx＋k4x2＋6x＋3<1对于一切实数都成立，则k的取值范围是(　　)
A. (－∞，＋∞)   B. (1,3)
        C. (－∞，3)    D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
　解析　B　∵4x2＋6x＋3＝4x2＋32x＋3＝4x＋342＋34≥34，
       ∴不等式等价于2x2＋2kx＋k<4x2＋6x＋3，
        即2x2＋(6－2k)x＋3－k>0对任意的x 恒成立，
          ∴Δ＝(6－2k)2－8(3－k)<0，∴1<k<3.
8．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)满足f(m)<0，则f(m＋1)的符号是(　　)
A．f(m＋1)≥0   B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0   D．f(m＋1)<0
　解析　C　∵f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，
       ∴由f(m)<0，得－1<m<0，  ∴m＋1>0，∴f(m＋1)>f(0)>0.
9．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是(　　)
A．2   B．22 
C．4   D．5
　解析　C　∵a>0，b>0，  ∴1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥4，
          当且仅当a＝b＝1时取等号，∴1a＋1b＋2abmin＝4.
10．使不等式log2x(5x－1)>0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．x>12   B.15<x<25或x>12
C.15<x<1   D．0<x<12或x>12
　解析　D　log2x(5x－1)>0⇔
5x－1>0，2x>1，5x－1>1或5x－1>0，0<2x<1，5x－1<1⇔x>15，x>12，x>25或x>15，0<x<12，x<25，
∴x>12或15<x<25. 由x>12或15<x<25成立，可得x>12 或0<x<12成立，反之不成立，故选D.
11．假设f(x)＝x2－4x＋3，若实数x、y满足条件f(y)≤f(x)≤0，则点(x，y)所构成的区域的面积等于(　　)
A. 1   B. 2 
C. 3   D. 4
　解析　B　由f(y)≤f(x)≤0可得fy≤fx，fx≤0，即1≤x≤3，x－yx＋y－4≥0，
   画出其表示的平面区域如图所示，可得面积S＝2×12×2×1＝2，故选B.

12．设x，y 满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为(　　)
A.256   B.83 
C.113   D．4
　解析　A　作出可行域(四边形OBAC围成的区域，包括边界)如图，作出直线l：ax ＋by＝0，当直线l经过点A时，z＝ax＋by取得最大值．

解x－y＋2＝0，3x－y－6＝0，得点A(4,6)，∴4a＋6b＝12，即a3＋b2＝1，
∴2a＋3b＝2a＋3ba3＋b2＝23＋32＋ab＋ba≥23＋32＋2＝256，当且仅当a ＝b时取等号．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知等差数列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___ _____.
　解析　由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12…b20＝30b1b2…b30 .
【答案】　10b11b12…b20＝30b1b2…b30
14．已知实数x，y满足约束条件x－y＋4≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝4x2－y的最小值为________．
　解析　作出不等式组所表示的可行域(图略)，z＝4x2－y＝22x•2y＝22x＋y，令ω＝2x＋y，可求得ω＝2x＋y的最小值是－2，所以z＝4x2－y的最小值为2－2＝14.
【答案】　14
15．某公司租地建仓库，每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，这项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那 么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
　解析　设仓库建在离车站d km处，
由已知y1＝2＝k110，得k1＝20，∴y1＝20d.  由y2＝8＝10k2，得k2＝45，∴y2＝45d.
∴y1＋y2＝20d＋4d5≥220d•4d5＝8，当且仅当20d＝4d5，即d＝5时，费用之和最小．
【答案】　5
16．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．
　解析　由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
【答案】　a2>b2＋c2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知表中的对数值有且只有两个是错误的.
x 1.5 3  5 6
lg x 3a－b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－c
x 7 8 9 14 27
lg x 2(a＋c) 3(1－a－c) 2(2a－b) 1－a＋2b 3(2a－b)
(1)假设上表中lg 3＝2a－b与lg 5＝a＋c都是正确的，试判断lg 6＝1＋a－b－c是否正确？给出判断过程；
(2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明)．
　解析　(1)由lg 5＝a＋c得lg 2＝1－a－c，
∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝1－a－c＋2a－b＝1＋a－b－c，
满足表中数值，即lg 6在假设下是正确的．
(2)lg 1.5与lg 7是错误的，
正确值应为lg 1.5＝lg32＝lg 3－lg 2＝2a－b－1＋a＋c＝3a－b＋c－1. 
lg 7＝lg 14－lg 2＝1－a＋2b－1＋a＋c＝2b＋c.

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