函数求导详细攻略

02-10 16:42:16   浏览次数:269次  栏目：高中数学知识点

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　　例1．求下列函数的导数
　　①y=(2x-3)⁵　　②　　③　　④y=sin³2x

　　解析：① 设u=2x-3，则y=(2x-3)⁵分解为y=u⁵，u=2x-3
　　由复合函数的求导法则得：
　　y'=f'(u)u'(x)=(u⁵)'(2x-3)'=5u⁴·2=10u⁴＝10(2x-3)⁴

　　② 设u=3-x，则可分解为，
　　。

　　③
　　 　　　　

　　④ y'=3(sin2x)²·(sin2x)'=3sin²2xcos2x(2x)'=6·sin²2x·cos2x

　　例2．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。
　　解析：y'=3x²+2ax，令y'=0，得x=0或，
　　由题设x=0时，y'=y=0，此时，∴a=0；当时也解出a=0。

　　例3．设，求f'(x)。
　　解析：当x>0时，，当x<0时，，
　　由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知
　　
　　
　　由于f'₊(0)=f'_-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，
　　即：。
　　例4．已知曲线C：y=3x⁴-2x³-9x²+4。
　　① 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
　　② 第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

　　解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴ 切点为(1,-4)，y'=12x³-6x²-18x
　　∴ 切线斜率为k=12-6-18=-12，∴ 切线方程为y=-12x+8。

　　②由
　　得3x⁴-2x³-9x²+12x-4=0，即(x-1)²(x+2)(3x-2)=0，。
　　公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。

　　评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。


　　例5．已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。
　　解析：，令，即，
　　得x=4，代入，得y=5，
　　∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。，函数求导详细攻略

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