用比较法证明不等式

用比较法证明不等式
　　利用由不等号定义给出的充要条件：
　　
　　将求证的两端作差后进行配方或因式分解以说明这个差与0的相对大小。
　　例1．求证：。
　　分析：作差后二次三项式可由配方或分解定号。
　　证法1：∵ a²+3-3a
　　∴ 。
　　分析：如果将差看成二次函数，也可讨论判别式来决定。
　　证法2：a²+3-3a=a²-3a+3
　　∵ a²的系数为正，Δ=(-3)²-4×3<0，∴ a²-3a+3>0，即a²+3>3a。
　　例2．求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ac。
　　分析：不等号两边是关于a，b，c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a²，b²，ab这样的结构，考虑配方来说明符号。
　　说明：
　　　　
　　当且仅当a=b=c时等号成立，
　　∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac （当且仅当a=b=c取等号）。
　　说明：本例所给出的结构是这一部分常用的一个特殊结构，许多问题的证明都归结为这一结构，例如这一个：求证：a²+b²+1≥ab+a+b。
　　例3．a，b∈R⁺，且a≠b，求证：a³+b³>a²b+ab²。
　　证明：
　　　　
　　∵ a>0，b>0，a≠b，∴ a+b>0，(a-b)²>0，∴ a³+b³>a²b+ab²。
　　分析：本题可运用作商比较法
　　证法2：a³+b³>0，a²b+ab²>0。
　　求证式等价于，
　　等价于证，即，
　　∵ a，b为不等正数，∴ 成立，即求证成立。
　　说明：这里使用的作商比较法需要说明与1的大小关系，当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简。
　　例4．若a，b∈R⁺，求证a^ab^b≥a^bb^a。
　　证明：∵ a>0，b>0，∴ a^ab^b与a^bb^a均为正，
　　，
　　分类讨论可知（分a>b>0，a=b>0，0<a<b）
　　，当且仅当a=b等号成立，∴ a^ab^b≥a^bb^a。