空间直线与平面例题分析

空间直线与平面例题分析：
例1．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝ AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝ CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα．
否则，若ACÌα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNÌα，∴AC∥α，
又AC Ëα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．
例2．四面体 中， 分别为 的中点，且 ，
，求证： 平面  
 证明：取 的中点 ，连结 ，∵ 分别为 的中点，∴
，又 ∴ ，∴在 中，
∴ ，∴ ，又 ，即 ，
∴ 平面  
例3. 如图，直三棱柱 中， ，侧棱 ，侧面 的两条对角线交于点 ， 的中点为 ，求证： 平面
证明：连结 ，∵ ∴ ，在直三棱柱 中
，∴ 平面 ，∵ ，  
∴ ，∴ ，∵ 是侧面 的两条对角
线的交点，∴ 是 与 的中点，∴ ，连结
，取 的中点 ，连结 ，则 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，∴ 是 在
平面 内的射影。在 中，
在 中， ，∴
∴ ，∴ ，∴ 平面