导数的综合应用练习及讲解

02-10 16:43:32   浏览次数:994次  栏目：数学典例讲解

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例1．设f(x)=ax³+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

　　解析：f'(x)=3ax²+1，若a≥0, f'(x)>0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。
　　若a<0，∵ f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。
　　∴ a<0且单调增区间为，单调增区间为。

　　例2．求函数y=2e^x+e^-x的极值。
　　解析：y'=2e^x-e^-x，令y'=0, 即2e^2x=1,
　　列表：
x



y'
-
0
+
y
↘
极小值
↗

　　∴ y_极小。

　　例3．求函数f(x)=3x-x³在闭区间的最大值和最小值。

　　解析：f'(x)=3-3x², 令f'(x)=0，则x₁=-1，x₂=1。
　　则f(-1)=-2, f(1)=2，又,
　　∴ [f(x)]_max=2, [f(x)]_min=-18。

　　例4．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x²的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。

　　解析：设点B的坐标为(x,0)且0<x<2,
　　∵ f(x)=4x-x²图象的对称轴为x=2, ∴点C的坐标为(4-x,0),
　　∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x²。
　　∴ 矩形面积为y=(4-2x)(4x-x²)=16x-12x²+2x³
　　　　　　　　 y'=16-24x+6x²=2(3x²-12x+8)
　　令y'=0，解得，∵ 0<x<2, ∴ 取。
　　∵ 极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。

　　例5．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？

　　解析：如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,
　　设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，
　　∵ ，
　　由A到C的时间T，则（0≤x≤15）
　　（0≤x≤15）
　　令T'=0，解得x=3，在x=3附近，T'由负到正，
　　因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。

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