圆锥曲线解答题突破

02-10 16:44:09   浏览次数:874次  栏目：数学典例讲解

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圆锥曲线解答题突破
1．（本题10分）已知椭圆C的焦点F₁（－ ，0）和F₂（ ，0），长轴长6，设直线 交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c= ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组 ,消去y得, .
设A( ),B( ),AB线段的中点为M( )那么: , =
所以 = +2= .也就是说线段AB中点坐标为(- , ).
2．（本题10分）已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为 ，求双曲线方程.
解:由于椭圆焦点为F(0, 4),离心率为e= ,所以双曲线的焦点为F(0, 4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=2 .所以求双曲线方程为: .
3．（本题10分）椭圆的两个焦点F₁、F₂在x轴上，以|F₁F₂|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程．
解：设P（3，4），则圆心为F₁F₂中点（原点），|F₁F₂|=2|OP|=10，
∴ c=5，∴ F₁（-5，0），F₂（5，0）
∴ 2a=|PF₁|+|PF₂|= ，∴ a²=45，
∴ b²=a²-c²=20，∴ 所求椭圆方程
4.（本题10分）抛物线 上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为 ，求 的表达式
解:由于 ,而|PA|=
= = ,其中x
(1)a 1时,当且仅当x=0时, =|PA|_min=|a|.
(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, =|PA|_min= .所以 = .
5．（本题10分）求两条渐近线为 且截直线 所得弦长为 的双曲线方程．
解:设双曲线方程为x²-4y²= .联立方程组得: ,消去y得，3x²-24x+(36+ )=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A( ),B( )，那么：  
那么：|AB|=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：
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