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直线与抛物线的位置关系,
直线与抛物线的位置关系
例1 焦点在y轴上的抛物线被直线x—2y—1=0截得的弦长为 ，求这抛物线的标准方程.
分析 焦点是在y轴正半轴上还是在y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，可以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x
2=ay(a≠0).
解 设抛物线方程为:x
2=ay(a≠0)，由方程组 消去y得：2x
2—ax+a=0，∵直线与抛物线有两个交点.∴Δ=(—a)
2—4×2×a＞0，即a＜0或a＞8
设两交点坐标为A（x
1,y
1）、B(x
2,y
2),则x
1+x
2= ,x
1·x
2= ，
∴|AB|= ，∵|AB|= ，∴ = ，即a
2—8a—48=0，解得a=—4或a=12．∴所求抛物线标准方程为：x
2=—4y或x
2=12y
评析 此类问题将直线和抛物线方程联立整理为关于x或y的二次方程，结合韦达定理求解．
备选题
例2 A、B是抛物线 （p>0）上的两点，满足 ，
（1）求证：A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）求证：直线AB过定点．
（3）求AB中点Ｍ的轨迹方程．
分析 依题意可设出A、B的两点坐标，然后根据条件 求之．
解 （1）设A ，B ，由 得： · +y
1·y
2=0；即y
1·y
2=－4p
2，从而x
1·x
2=
（2）由两点式方程可得AB的方程为：(y
1+y
2)y=2px+y
1·y
2；即(y
1+y
2)y=2px－4p
2，令y=0,得x=2p；即直线AB过定点E(2p,0)
（3）设AB的中点为M(x,y)，则 ；
消去 ，得AB中点Ｍ的轨迹方程： （x≥2p）
评析 此题的方法很多，上面给出的解法不失为一种最为基础的好方法，其它的方法请同学们自己尝试．，直线与抛物线的位置关系
