不等式的基本解法讲解

不等式的基本解法例题讲解
不等式示例1
解不等式：
（1）
（2）|x-5|-|2x+3|<1
不等式解法分析：（1）要结合函数的单调性，注意函数的定义域；（2）最需解决的问题是如何去掉绝对值符号，以零点分类讨论。
解：（1）原不等式等价于 è原不等式的解集为：
（2）原不等式等价于：
         或 或
从而得原不等式的解集为：
不等式示例2
对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。
不等式解法分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2) 0, 即
时取等号。故a<3
说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）
不等式示例3
（1）关于x的不等式ax>b的解集为一切实数，则ab²＝        
不等式解法分析：关键是对不等式ax>b的解集为一切实数的理解，要满足条件，则必有a=0, b<0, 从而ab²=0。
（2）已知不等式ax²+bx+c>0的解集为｛x| <x< ｝, 其中 > >0，则不等式cx²+bx+a<0的解集为                
不等式解法分析：要确定cx²+bx+a<0的解集，则必须知道c的符号，及方程cx²+bx+a=0的根，还要注意比较两根的大小。
事实上，由形式可知，a<0，又 = ，故c<0。将方程两边同除以x²得， ，则 = 或 ，从而两个根为 和 ，故解集为：
说明：以上是处理倒数方程的常见手法。
（3）已知关于x的不等式x²-x+a>0的解集为一切实数，则函数y=ax在[-1，1]上的值域为               
不等式解法分析：由题意知：△=1-4a<0èa> , 从而所求的值域为：[-a, a]
注意：第一句话仅仅是为了确定a的符号，不应该把a的范围代入。
（4）不等式 的解集为              
不等式解法分析：分式不等式和高次不等式一般用序轴标根法求解  “系数为正、右上下笔、奇穿偶回”。答案：
不等式示例4
若关于x的方程x²-x-(m+1)=0在[-1，1]上有解，求m的取值范围。
不等式解法分析：这是一个根的分部的问题，要求方程在[-1，1]上有解，这要注意：有几解？
解：设f(x)= x²-x-(m+1)
1. 若原方程在(-1,1)上有两解，则
è
2、若原方程在(-1,1)上有一解，则
     f(1)f(-1)<0, 即： (-m-1)(1-m)<0è-1<m<1
3、若f(1)=0, 则m=-1, 若f(-1)=0,则m=1
综上得：m得取值范围为[ ]
说明：1、从以上解法可以看出，此题从正面考虑情况比较多，这时我们可以从反面去考虑，我们求使方程在[-1, 1]上无解的m的取值范围：这时只有两种情况，（1）方程本身无解；（2）方程有解，但解都不在[-1，1]上。最后取补集即可。
     2、此问题还可看为函数m=x²-x-1，在[-1,1]上的取值范围，即为[ ]
不等式示例5
解关于x的不等式
不等式解法分析：若将原不等式移项、通分整理可得：

显然，现在有两个问题：（1）a-1的符号怎样？（2） 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在。
解：原不等式与不等式 同解。
1、       当a-1>0，即a>1时，原不等式与不等式 同解，此时因为 <2, 所以原不等式的解集为
2、       当a=1时，即x-2>0，其解集为
3、       当a<1时，原不等式与不等式 同解
（1）当 >2, 即0<a<1时，原不等式的解集为
（2）当a=0时，解集为
（3）当a<0时，原不等式的解集为
说明：（1）解题时标准要明确，书写条理要清晰。
    （2）常见的分类标准： 、0、1、根