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用好相似三角形中的对应高──一道课本习题的变式探究,
人教九年级数学下册复习题27第13题是一道应用“相似三角形对应高的比等于相似比”进行求解的几何问题。由此题生成的中考题和竞赛题近几年来频频出现，下面就这道习题的一般变式作系列探究。
一、原题再现
如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
分析：如图1，EFGH为正方形，则EF∥BC，AK⊥EF，
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设正方形边长为x，△AEF的高可写成AK=AD—KD=AD—EF=80—x。
由△AEF∽△ABC，
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即
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解得x=48 即正方形零件的边长是48mm
点评：在应用相似三角形的性质解题时，同学们比较熟悉的性质是对应角相等、对应边成比例，而相似三角形中“对应高的比等于相似比”则不太熟悉。但在解决相似三角形的面积问题或内接四边形问题时，我们一定要注意用好相似三角形中的对应高。
二、拓展一：三角形内接矩形长宽间的数量关系探究
例1 如图所示，某校计划将一块形状为锐角△ABC的空地进行生态环境改造，已知△ABC的边BC长为120m，高AD长80m，学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，现计划在△AHG上种草，在△BHE、△GFC上种花。问：当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？（2009年鄂州市中考题）
分析：如图2，四边形EFGH为矩形，则GH∥BC，AK⊥GH，
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设FG=x，AK=AD－FG=80—x
由△AHG∽△ABC，
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即
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，
HG=120－
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x，又BE+FC=BC－EF=BC—HG=
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x
由S
△AHG=S
△BHE +S
△GFC，
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（120－
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x）（80—x）=
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·
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x·x 解得x=40
即FG长40米时，种草的面积与种花的面积相等。
点评：利用相似三角形对应高的比等于相似比，将HG用GF的式子表示出来，是解题的关键。
三、拓展二：三角形内接矩形面积的最值问题探究
例2 BC=100米，高AH=100米。某单位要修建一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少？有一块三角形土地，它的底边
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分析：如图3，四边形EFGD为矩形，则GD∥BC，AK⊥GD，
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设GF=x，则AK=AH—GF=100—x
由△ADG∽△ABC，
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即
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DG=100—x，S
四边形DEFG=（100－x）x= —（x—50）
2+2500
x=50时，S
四边形DEFG最大，此时DG=100—x=50，
即矩形长宽均为50米时地基面积最大。
点评：三角形形内接矩形的面积与矩形的长宽有关。借助相似三角形中边与高的关系，将矩形的长与宽联系起来，找出长与宽之间的数量关系，将面积表示成长或宽的二次函数式，进而可得到面积最大的限制条件。
四、拓展三：由一般到特殊的探究
例3 如图4，面积为a
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