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相似三角形的性质教学片断,
如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1, D是BC边上的点,且BD= BC;D1是B1C1边上的点,且B1D1= B1C1,且 =k,试说明: = =k。
生:这个简单,把上面证明中
“又∵AD是BC边上的中线,A1D1是B1C1边上的中线
∴BC=2BD,B1C1=2B1D1
∴ ”
改为:∵BD= BC,B1D1= B1C1
∴BC=3BD,B1C1=3B1D1
∴
师:呵呵!你们很会偷懒的,不过这里偷懒无罪,积极动脑该表扬,这也是积极动脑的表现,前面我们提到跳步的现象这里还不存在,这点我很满意,大家的态度是很认真的,在这里我更满意的是这里的“偷懒”行为。因为前面几位同学的步骤实在是太繁,我不想提出来,是希望激出某类“偷懒”的行为,现在成功了。主要是通过代换将式子化为我们的需要的式子。由衷的为你们的自发性成功道贺。不过别得意,好戏还在后头,我还要再难一难你们,接招:
把A、A1分别沿AB、A1B1移动到E、E1的位置,如下有:
如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1, D是BC边上的点,且BD= BC;D1是B1C1边上的点,且B1D1= B1C1;E点在AB上,且AE= AB;点E1在A1B1上,且A1E1= A1B1,有=k,试说明: = =k。
生:简单,只需要改动前面证明过程中比例式的左半部分就可以了。按您这么变,还可以更随意一点的。
师:是的,看来你们是能够说服我的了,因为这个定理是邓亚平先说出来的,尽管其它同学也在下面小声的说,我们把这个结论命名为……
学生(兴奋地)接话:邓亚平定理。(相似三角形一切对应线段的比等于相似比。)
师:好的,除了相似三角形外,更一般的……
生:相似形的一切对应线段的比等于相似比。
师:好的。同学们的总结的好处再于,我们把众多的结论归结为一个定理,不但使我们记忆负担减轻了(现在只需要记一个定理),更重要的是使我们的……
生接话:认识更深刻了。也利于这个知识的应用。
师:还有我们是站在一个系统的高度认识问题的。还有什么问题吗?
生:面积的比与相似比有何关系呢?
师:我也正想问呢,你们觉得呢?
生:(有的说等于相似比,有的说等于相似比的平方)
先看一个具体的例子:
如图,ΔABC与ΔA1B1C1相似比为1∶2,后者的面积为前者的多少倍?
生:后者是前者的4倍。
师:如果ΔABC与ΔA2B2C2相似比为1∶3呢?
生:后者的面积是ΔABC的面积的9倍。
师:根据这个特例,我们可以得出我们的猜想……
生:相似三角形面积的比等于相似比的平方。
师:如何证明呢?
如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高,且 =k,请大家证: =k2
师:请大家思考几分钟。
李伟上黑板做(其余同学在下面做):
李伟:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,
∴ = = =k(相似三角形一切对应线段的比等于相似比)
又∵AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高
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∴ = = ·=k·k=k2
师:很好,刚学会定理就用,要这样。我们还可以这样来理解,三角形的面积等于底与相应的高的积的一半,两个三角形的底边扩大与缩小相同的倍数,其高也相应的扩大与缩小相同的倍数,其乘积将扩大与缩小相同的倍数的平方。
师:你们的猜想是正确的,请体会一下这个结论。
口答:两个相似三角形的相似比为2∶3,则面积比为__________。(生:4∶9)
两个相似三角形的面积比为25∶16,则相似比为_________。(生:5∶4)
师:如何来的呢?
生:已知面积比求相似比,把面积比开方就可以了。
师:用式子表示一下:由 =( )2,
有: =
口答:两个相似三角形的面积比为4∶3,则相似比为__。(生:2∶ )
师:我们四川的大文学家苏轼,现打算在乐山的新广场,按1∶5的相似比,用大理石为其塑造一座雕像,如果苏轼的体积为0.06米3,则需要多少立方米的大理石?
生:这是体积比。
师:是的,请大家想一想,体积比与相似比有何关系呢?
生:……
部分生:应该是相似比的立方。
师:大家再想想,最好能说出为什么?
生:长、宽、高都扩大与缩小k(相似比)倍,其体积将三者乘起来,当然该扩大与缩小相似比的k3倍了。
师:这个想法是正确的。来看最简单的正方体:
有 = =k3。
师:现在你能计算出需要多少立方米的大理石吗?
生: ,有x=0.06×125=7.3米3。
生感叹:体积要扩大125倍。
师:还有一分多钟下课,想再考你们一下……
生:考吧!(情绪高涨)
师:有放大k倍的(比如线段);有放大k2倍(比如面积);有放大k3倍(比如体积),那么有放不大的图形吗?
生(稍怔):角。
师:正确。比如直角,无论如何放大,仍然是直角,放大或缩小前后大小的比为1。
谁来把今天的探索的总结一下(下课铃声已经打响了)
生:
相似三角形对应角的比为1;(师插话:即放不大)
相似三角形一切对应线段的比等于相似比;
相似三角形面积的比等于相似比的平方;
相似体的体积的比等于相似比的立方。
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，相似三角形的性质教学片断
