两直线交点与方程组解的关系 人教必修2

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设两直线的方程是

l1：　 A1x+B1y+c1=0，　 l2：　 A2x+B2y+C2=0．

如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；

反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和

l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组

是否有唯一解．

(二)对方程组的解的讨论

若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易

得到两直线的位置关系．

下面设A1、A2、B1、B2全不为零．

解这个方程组：

(1)×B2得　 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，　　　　　　　　　　　　　　　(3)

(2)×B1得　 A2B1x+B1B2y+B1C2=0．　　　　　　　　　　　　　　　 (4)

(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0．

下面分两种情况讨论：

将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得

上面得到y可把方程组写成

即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．

综上所述，方程组有唯一解：

这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．

(2)当A1B2-A2B1=0时：

①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零(为什么？)．设C2

②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、

 

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