教材分析
圆是学生比较熟悉的曲线,在初中几何课中就已学过圆的定义及性质.这节主要是用坐标的方法画圆---建立圆的方程.首先是根据圆的定义,建立圆的标准方程,进而研究圆的一般方程,并在此基础上,运用坐标法,探讨直线与圆、圆与圆的位置关系.由于圆是一种对称、和谐的图形,有很多优美的几何性质,因此,在运用坐标法解决问题的同时,充分利用了圆的几何性质.这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化,直线与圆位置关系、数量关系的判定与求解.难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用.
教学目标
1. 理解和掌握圆的标准方程和一般方程,并会熟练地进行方程的互化,能根据条件灵活选用适当的方法建立圆的方程.
2. 在直线的方程、圆的方程的基础上,用代数、几何两种方法研究直线与圆的位置关系.
3. 初步学会用待定系数法、数形结合法解决与圆有关的一些简单问题.
4. 能应用圆的方程解决一些简单的实际问题,培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力.
任务分析
圆是学生比较熟悉的一种曲线,建立圆的方程也比较容易.学习时,应根据问题条件,灵活适当地选取方程形式,否则,可能导致解题过程过于烦锁.在解决直线与圆、圆与圆位置关系问题时,要尽可能挖掘、应用关于圆的隐含条件,要注意数形结合、待定系数法的应用.
教学设计
一、问题情境
圆是最完美的曲线,它是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合.定点是圆心,定长是半径.在平面直角坐标系中,怎样用坐标的方法刻画圆呢?
[问 题]
河北省赵县的赵州桥,是世界着名的古代石拱桥,也是造成后一直使用到现在的最古老的石桥.赵州桥的跨度是37.02m,圆拱高约为7.2m.建立适当的平面直角坐标系,写出这个圆拱所在的圆的方程.
解析:要求圆的方程,只要确定圆心的位置和半径的大小.
第一步:以圆拱对的弦所在的直线为x轴、弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.根据平面几何知识可知,圆拱所在圆的圆心O必在y轴上,故可设O1(0,b).
第二步:设圆拱所在圆的半径为r,则圆上任意一点P(x,y)应满足O1P=r,即
①
因此,只须确定b和r的值,就能写出圆的方程.
第三步:将点B(18.51,0),C(0,7.2)分别代入①,
得
解得
故赵州桥圆拱所在的圆的方程为x2+(y+20.19)2=750.21.
二、建立模型
(1)一般地,设点P(x,y)是以C(a,b)为圆心、r为半径的圆上的任意一点,则CP=r.
由两点间的距离公式,得 , ①
即(x-a)2+(y-b)2=r2.
反过来,若点P1的坐标(x1,y1)是方程①的解,
则(x1-a)2+(y1-b)2=r2,即
这说明点P1(x1,y1)在以C(a,b)为圆心、r为半径的圆上.
结论:方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫作以(a,b)为圆心、r为半径的圆的标准方程.
特别地,当圆心为原点O(0,0)时,圆的方程为x2+y2=r2.
三、解释应用(1)
[例 题]
1. 已知两点M(4,9),N(2,6),求以MN为直径的圆的方程.
分析:先利用两点间距离公式求出半径r,然后分别将两点的坐标代入圆的标准方程,解方程组求出a,b.
2. 已知动点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为1∶2,那么点M的坐标应满足什么关系?请你根据这个关系,猜想动点M的轨迹方程.
解:根据题意,得
即x2-2x+y2-3=0, ①
变形,得(x-1)2+y2=4. ②
由方程①通过配方化为②,可知动点M的轨迹是以(1,0)为圆心、2为半径的圆.
思考:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否都表示圆呢?
[练 习]
写出满足下列条件的圆的方程.
(1)圆心在原点,半径为5.
(2)圆心在C(6,-2),经过点P(5,1).
思考:点P(x0,y0)与(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断方法是什么?
四、建立模型(2)
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方,得 ,与圆的标准方程比较,可知
(1)当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(- ,- )为圆心、以 为半径的圆.
(2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有一个解,表示一个点(- ,- ).
(3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0无实数解,不表示任何图形.
结论:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.
思考:(1)圆的标准方程与一般方程的特点.
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:x2,y2的系数相同且不等于0,没有xy这样的项,是特殊的二元一次方程.
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