向量加法运算及其几何意义教学设计

教材分析
    引入向量后,考查向量的运算及运算律,是数学研究中的基本的问题.教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的,在此基础上抽象概括了向量加法的意义,总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则.向量加法的运算律,教材是通过"探究"和构造图形引导学生类比数的运算律,验证向量的交换律和结合律.例2是一道实际问题,主要是要让学生体会向量加法的实际意义.这节课的重点是向量加法运算(三角形法则、平行四边形法则),向量的运算律.难点是对向量加法意义的理解和认识.
    教学目标
    1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例,认识理解向量加法的意义,体验数学知识发生、发展的过程.
    2. 理解和掌握向量加法的运算,熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.
    3. 理解和掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算.
    4. 通过由实例到概念,由具体到抽象,培养学生的探究能力,使学生数学地思考问题,数学地解决问题.
    任务分析
    这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用.对向量加法运算,学生可能不明白向量可以相加的道理,产生疑惑:向量既有大小、又有方向,难道可以相加吗?为此,在案例设计中,首先回顾物理学中位移、力的合成,让学生体验向量加法的实际含义,明确向量的加法就是物理学中的矢量合成.在此基础上,归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则.向量加法的运算律发现并不困难,主要任务是让学生对向量进行探究,构造图形进行验证.关于例2的教学,主要是帮助学生正确理解题意,把问题转化为向量加法运算.
    教学设计
    一、问题情境
    1. 如图,某物体从A点经B点到C点,两次位移 , 的结果,与A点直接到C点的位移 结果相同.
    2. 如图,表示橡皮筋在两个力F1,F2的作用下,沿GE的方向伸长了EO,与力F的作用结果相同.
    位移 与 合成为 等效,力F与分力F1,F2的共同作用等效,这时我们可以认为: ,F分别是位移 与 、分力F1与F2某种运算的结果.数的加法启发我们,位移、力的合成可看作数学上的向量加法.
    2. 在师生交流讨论基础上,归纳并抽象概括出向量加法的定义
    已知非零向量a,b(如图37-3),在平面内任取一点A,作 =a, =b,再作向量 ,则向量 叫a与b的和,记作a+b,即a+b= + = .
    求两个向量和的运算,叫作向量的加法.这种求向量和的作图法则,称为向量求和的三角形法则,我们规定0+a=a+0=a.
    3. 提出问题,组织学生讨论
    (1)根据力的合成的平行四边形法则,你能定义两个向量的和吗?
    (2)当a与b平行时,如何作出a+b?
    强调:向量的和仍是一个向量.用三角形法则求和时,作图要求两向量首尾相连;而用平行四边形法则求和时,作图要求两向量的起点平移在一起.
    (3)实数的运算和运算律紧密联系,类似地,向量的加法是否也有运算律呢?首先,让学生回忆实数加法运算律,类比向量加法运算律.向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证.向量加法的结合律的验证则比较困难,教学时,应放手让学生进行充分探索.最后通过下面的两个图形验证加法结合律.
    三、解释应用
    [例 题]
    1. 已知非零向量a,b,就(1)a与b不共线,(2)a与b共线,分别求作向量a+b.
    注:要求写出作法,规范解题格式.
    2. 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输.一艘轮船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
    (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度.
    (2)求船实际航行的速度的大小与方向(速度的大小保留2个有效数字,方向用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
    [练 习]
    1. 如图,已知a,b,画图表示a+b.
    2. 已知两个力F1,F2的夹角是直角,合力F与F1的夹角是60°,|F|=10N,求F1和F2的大小.
    3. 在△ABC中,求证 .
    4. 在n边形A1A2…An中,计算
    四、拓展延伸
    1. 对于任意向量a,b,探索|a+b|与|a|+|b|的大小,并指出取"="号的条件.
    2. 在求作两个向量和时,你可能选择不同的始点求和.你有没有想过,选择不同的始点作出的向量和都相等吗?你可能认为,这是"显然"对的,你能证明这个问题吗?
    点 评
    向量的加法运算是向量的基本运算.为了正确认识理解向量加法的运算,案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成.在此基础上,使学生认识到:物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算,进而总结出向量加法的三角形法则,平行四边形法则,这样设计自然,流畅,全面.向量加法的运算律的教学,是引导学生通过类比方法发现的,并让学生自主探索,构造图形验证,这样不仅体现了学生的主体地位,同时还能培养学生科学的探究能力.例题与练习、"拓展延伸"的设计,有层次,有力度,深入浅出,能较好地培养学生的创新能力.这是一篇优秀的案例设计.