一道习题的几个潜在性质 人教选修1-1

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2．

证明：如右图，设OP的参数方程为（t为参数），将x、y代入椭圆方程整理，得

　　①

取长轴端点Ａ为（－a，０），则可设ＡＱ的参数方程为为参数）．　　②

将它代入椭圆方程并整理，得

．　　　　　　③

在②中，令x=0,得　　．　　　　④

由①、③、④，得．

平移弦ＡＢ，使之过焦点，则得

性质４　ＭＮ是经过椭圆焦点Ｆ的弦，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＭＮ，则

证明：如右图，以Ｏ为极点，Ｏx为极轴，建立极坐标系，则椭圆方程为．

设∠xＯＰ＝，则.

以Ｆ为极点，Ｆx为极轴，建立极坐标系，则椭圆方程为．

这时，

．　　　　　　　　②

比较①与②，得

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下面谈谈上述几个性质的应用．

例１　如右图，椭圆的弦Ｐ_１Ｐ_２过焦点Ｆ_２，Ｐ_１Ｐ_２⊥ＯＦ_２，且椭圆离心率，求∠Ｐ_１ＯＰ_２的大小．

解：∵Ｐ_１Ｆ_２⊥ＯＦ_２，由性质１，得，

∵∠Ｐ_１ＯＦ_２

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