集合的概念与运算技巧

【命题趋向】
    1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分.
    2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.
    【考点透视】
    1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
    2.了解空集和全集的意义.
    3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
    4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
    5.注意空集 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A B,则有A= 或A≠ 两种可能,此时应分类讨论.
    【例题解析】
    题型1. 正确理解和运用集合概念
    理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
    例1.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=( )
    A.(0,1),(1,2)  B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2}   D.{y|y≥1}
    思路启迪:集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.
    解:M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}.
    ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D.
    点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组   
    从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.
    例2.若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则P∩Q等于( )
    A.P     B.Q       C.         D.不知道
    思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y= x2+1(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了.
    解:事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y= x2+1的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知Q P,即P∩Q=Q.∴应选B.
    例3. 若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有( )
    A.P∩Q=   B.P  Q   C.P=Q   D.P  Q
    思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
    解:正确解法应为: P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q= .∴应选A.
    例4(2007年安徽卷文)若 ,则 = (  )
    A.{3} B.{1} C.  D.{-1}
    思路启迪:
    解:应选D.
    点评:解此类题应先确定已知集合.
    题型2.集合元素的互异性
    集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.