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椭圆中点弦的斜率公式及应用人教选修1-1

11-07 14:56:20 浏览次数:880次栏目：高三数学教学设计

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二次曲线的中点弦有许多有趣的性质，下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果．

定理　设有二次曲线的方程为Ａ、Ｂ两点在曲线上，Ｍ是弦ＡＢ的中点，Ｏ为坐标原点，则．

证明　设Ａ、Ｂ两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂)，则点Ｍ的坐标为（）．

∵Ａ、Ｂ两点在曲线上，

∴

两式相减得：

整理得，

又，

．证毕．

注　特别地，当＞０时，二次曲线为圆，显然ＯＭ⊥ＡＢ，有．

例１　过椭圆内一点Ｄ（１，０）引动弦ＡＢ，求弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程．

解　设动点Ｍ的坐标为（x,y），则

由定理得

整理得

这就是点Ｍ的轨迹方程．

例２　设椭圆与直线

www.lexue88.com 相交于Ａ、Ｂ两点，且，又ＡＢ的中点Ｍ与原点Ｏ的连线的斜率为，求a、b的值．

解　由定理得（－１）·＝－

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