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平面向量教案,
由①②得 或 (舍)
∴ =
法二:从分析形的特征着手
∵ | |=| |=2
· =0
∴ △AOB为等腰直角三角形,如图
∵ | |= ,∠AOC=∠BOC
∴ C为AB中点
∴ C( )
说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使| |∶| |=1∶3,| |∶| |=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记 = , = ,用 , 表示向量 。
分析:
∵ B、P、M共线
∴ 记 =s
∴ ①
同理,记
∴ = ②
∵ , 不共线
∴ 由①②得 解之得:
∴
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点
(1) 利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
(2) 若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则C(2,0),D(2,3),E(1,0)
设P(0,y)
∴ =(1,3), =(-1,y)
∴
· =3y-1
代入cos450=
解之得 (舍),或y=2
∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
(3) 当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)
∴ =(2,1), =(-1,2)
∴ · =0
∴ ∠DPE=900
又∠DCE=900
∴ D、P、E、C四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
(一) 选择题
1、 平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若 ∥ ,则x的值为:
A、 -5 B、-1 C、1 D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足 ,连DC并延长至E,使| |= | |,则点E坐标为:
A、(-8, ) B、( ) C、(0,1) D、(0,1)或(2, )
2、 点(2,-1)沿向量 平移到(-2,1),则点(-2,1)沿 平移到:
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3、 A、(2,-1) B、(-2,1) C、(6,-3) D、(-6,3)
4、 △ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:
A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能
5、 设 , , 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①( · ) -( · ) =0
②| |-| |<| - |
③( · ) -( · ) 不与 垂直
④(3 +2 )·(3 -2 )=9| |2-4 |2中,
真命题是:
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
6、△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C度数是:
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
7、△OAB中, = , = , = ,若 = ,t∈R,则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且 =(0,3), =(4,0),则 =
A、( ) B、( ) C、(7,4) D、( )
(二) 填空题
9、已知{ , |是平面上一个基底,若 = +λ , =-2λ - ,若 , 共线,则λ=__________。
10、已知| |= ,| |=1, · =-9,则 与 的夹角是________。
11、设 , 是两个单位向量,它们夹角为600,
则(2 - )·(-3 +2 )=____________。
12、把函数y=cosx图象沿 平移,得到函数___________的图象。
(三) 解答题
13、设 =(3,1), =(-1,2), ⊥ , ∥ ,试求满足 + = 的 的坐标,其中O为坐标原点。
14、若 + =(2,-8), - =(-8,16),求 、 及 与 夹角θ的余弦值。
15、已知| |= ,| |=3, 和 夹角为450,求当向量 +λ 与λ + 夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
(一)1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A
(二)9、 10、 11、 12、y=sinx+1
(三)13、(11,6)
14、 =(-3,4), =(5,-12),
15、λ< ,或λ> 且λ≠.
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