圆锥曲线的性质

一、圆锥曲线的性质知识回顾
1、思考：　在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子： ，
将其变形为：
，
你能解释这个式子的意义吗？
这个式子表示一个动点P（x，y）到定点（c，0）与到定直线 的距离之比等于定值 ，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？
二、圆锥曲线性质例题讲解
例1　已知点点P（x，y）到定点F（c，0）的距离与到定直线 的距离之比是常数 ，求点P的轨迹。
解：由题意可得

化简得
。
令 ，则上式可以化为

这是椭圆的标准方程。
所以点P的轨迹是焦点为（c，0），（-c，0），长轴长、短轴长分别为2a、2b的椭圆。
变式 若将条件 改为 呢？
由上例知，椭圆上的点P到定点F的距离和它到一条定直线 （F不在 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率
类似地，可以得到：双曲线上的点P到定点F（c，0）的距离和它到定直线 （ ）的距离的比是一个常数，这个常数 就是双曲线的离心率 。
圆锥曲线的共同定义：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线 （F不在定直线 上）的距离之比是一个常数 。
这个常数 叫做圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦点，定直线 就是该圆锥曲线的准线。
注：
（1）       椭圆的离心率 满足0< <1，双曲线的的离心率 >1，抛物线的的离心率 ＝1。
（2）       根据图形的对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 ；对于中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 。
（3）       圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整体，当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义；当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差）为常数时，常考虑第一定义。
圆锥曲线性质拓展：
椭圆的焦半径公式：若P（x，y）是椭圆上任一点，F₁、F₂是椭圆 的左焦点和右焦点，则 ；若P（x，y）是椭圆上任一点，F₁、F₂是椭圆 的下焦点和上焦点，则 ；