巧用圆锥曲线的范围解题 人教选修1-1

11-07 14:56:20   浏览次数:641次  栏目：高三数学教学设计

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椭圆方程中x,y的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，离心率e的范围是０＜e＜１．这些取值范围在解题中有不平凡的功效，兹举例如下：

例１　Ｆ_１、Ｆ_２是椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上任意一点，则的最小值是＿＿＿．（第七届“希望杯”赛题）

解　由椭圆范围知－２≤x≤２，设Ｐ点的坐标是（x₀,y₀）,则－２≤x₀≤２，由焦半径公式知（其中）

故

等号当且仅当x0=2或－２时取得，故的最小值为１．

例２　已知椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点是Ａ、Ｂ，若Ｃ上存在点Ｑ，使

∠ＡＱＢ＝１２０°，求曲线Ｃ的离心率的取值范围．

解　设Ｑ（x₀,y₀），由椭圆的对称性，不妨设Ｑ在x轴上方，即０＜y₀≤b．

∵

∴tgＡＱＢ＝代入整理得

　　　　　　（１）

又Ｑ点在椭圆上，故　　　　　（２）

由（１）、（２）知

∴

由于y0＝０时Ｑ与Ａ或Ｂ重合，故舍去．

∴

又０＜y0≤b,故≤b．

从而可得

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解得

∴

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