分数与小数的互化

1．化分数为小数

　　（1）一个既约分数的分母，如果只含有质因数2和5，那么这个分数可以化成有限小数．因为这样的分数的分母可以化成10的正整数次幂，也就是分数可化成十进分数，从而化成有限小数．十进分数化成小数的方法有两种：①将分子、分母同乘上适当的2或5的正整数次幂，把分母变成10的正整数次幂，然后改写成小数形式．例如，

　　 ＝0.4375．②把分数看作分子除以分母，用通常除法求得它的小数形式．例如， ＝7÷16＝0.4375．

　　（2）一个既约分数的分母，如果只含有2和5以外的质因数，那么这个分数所化成的小数是纯循环小数；这个纯循环小数的循环节的位数与分母能整除，形如9，99，999，……数中最小的那个数里9的个数相同．例如， 是既约分数，分母只含质因数7，所以 化成的小数是纯循环小数，又因为形如 的整数中能被7整除的最小数是999999，所以 化成的纯循环小数的循环节的位数是6．事实上 ＝ ．

　　（3）一个既约分数的分母，如果既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么，这个分数所化成的小数是混循环小数；这个混循环小数的小数部分不循环数字的个数，与分母里质因数2和5的指数中最大的相同；这个混循环小数循环节的位数，与分母里2和5以外的质因数的积能整除的形如99……9的数中最小的那个数里9的个数相同．例如， 是既约分数，分母22里含有质因数2，又含有2和5以外的质因数11，所以 所化成的小数是混循环小数．由于它的分母中2和5的最大指数是1，所以它的小数部分不循环数字的个数是1．又因为11能整除的形如99……9的最小数是99，所以它的循环节的位数是2， ＝ ．

　　2．化小数为分数．

　　（1）化有限小数为分数：只要把有限小数改写成十进分数，再化简成既约分数．例如，0.075＝ ．

　　（2）化纯循环小数为分数：①用纯循环小数的整数部分作为带分数的整数部分；②用第一个循环节的数字所组成的数作为带分数的分数部分的分子；③带分数分数部分的分母由若干个数字9组成，9的个数等于循环节的位数．例如，

　　 ．

　　（3）化混循环小数为分数：①用混循环小数的整数部分作为带分数的整数部分；②用混循环小数小数点右边第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字所组成的数，所得的差作为带分数的分子；③带分数的分母是由若干个数字9后面带若干个数字0所组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数部分不循环的位数．