椭圆是一种常见而重要的曲线，对它的学习我们要通过它的方程去进一步深入研究它的几何性质，而对椭圆的定义及其标准方程的熟练掌握则是我们以后继续学习的基础和预备知识.
1.深刻理解椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，用集合语言可叙述为：点集P={M|MF1|+|MF2|=2a,a＞0,2a＞|F1F2|}.
问题1：若点M满足条件|MF1|+|MF2|=2a(a＞0,F1、F2是平面内的两个定点)，则它的轨迹一定是椭圆吗？反过来，如果一个点M的轨迹是椭圆，一定有|MF1|+|MF2|=2a（a＞0）这一条件吗？
分析：从上节课我们画椭圆的实际操作中可以得到：当M满足：|MF1|+|MF2｜=2a且
2a＞|F1F2|条件时，才能得到一个椭圆，同样可以得到，若M的轨迹是一个椭圆，则它一定满足|MF1|+|MF2|=2a(a＞0)这一条件.
评述：深刻理解以上问题的关键是：从实际出发，通过实践从而巩固理论.
问题2：将定义中的“2a＞|F1F2|”改成“2a=|F1F2|”或“2a＜|F1F2|”时，点M的轨迹如何呢？
分析：理解透彻以上问题仍可提醒学生在实践中总结理论，通过直接具体的实践不难发现和得到：
当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2.
当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹是不存在的.
评述：以上两个问题思考之后，可以得出：
“动点M到两个定点F1、F2的距离和|MF1|+|MF2|=2a(a＞0)”是“点M轨迹是椭圆”的必要而不充分条件.
注意：椭圆的定义是我们对它方程式的推导的依据.
请读者试探索以下题目：
到两个定点F1（-2，0）和F2(2,0)的距离之和不小于4的点M的轨迹是什么？
答案：线段或椭圆
2.熟练掌握椭圆的标准方程：
问题1：在学习椭圆的标准方程时，应注意些什么？
分析：①椭圆的位置特征与它的标准方程形式是统一的.椭圆的位置由其中心位置和焦点位置确定，即当椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时，对应的方程为=1(a＞b＞0).当椭圆的中心在原点，焦点在y轴上时，对应的方程是
=1(a＞b＞0).
②在求椭圆的标准方程时，应从“定位”与“定量”两个方面去考虑，“定位”是指确定焦点所在的坐标轴，以判断方程的形式；“定量”是指确定方程中的a2与b2的具体数值，常常通过待定系数法去求.
问题2：在具体去求椭圆的标准方程时，应怎样进行“巧设巧求”呢？
下面通过具体例子说明：
［例1］根据下列条件，求椭圆的标准方程.
①坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（）.
②坐标轴为对称轴，一焦点为（0，），且截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为0.5.
③经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.
解：①设所求椭圆的方程为=1(m＞0,n＞0)
∵椭圆过A（0，2），B（）
∴
∴所求椭圆方程为：x2+=1
②根据题意设所求椭圆的方程为
=1(a＞b＞0)
∵c=
∴a2=b2+50
∴
消去y得：
10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0
设直线与椭圆相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点，则x1、x2是以上方程的根且有Δ＞0
即5b
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