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导数题的解题技巧,
例9.函数 的值域是_____________.
思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
解答过程:由 得, ,即函数的定义域为 .
,
又 ,
当 时, ,
函数 在 上是增函数,而 , 的值域是 .
例10.(2006年天津卷)已知函数 ,其中 为参数,且 .
(1)当时 ,判断函数 是否有极值;
(2)要使函数 的极小值大于零,求参数 的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ,函数 在区间 内都是增函数,求实数 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当 时, ,则 在 内是增函数,故无极值.
(Ⅱ) ,令 ,得 .
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当 时,随x的变化 的符号及 的变化情况如下表:
x
0
+ 0 - 0 +
↗ 极大值
↘ 极小值 ↗
因此,函数 在 处取得极小值 ,且 .
要使 ,必有 ,可得 .
由于 ,故 .
②当时 ,随x的变化, 的符号及 的变化情况如下表:
+ 0 - 0 +
极大值
极小值 因此,函数 处取得极小值 ,且
若 ,则 .矛盾.所以当 时, 的极小值不会大于零.
综上,要使函数 在 内的极小值大于零,参数 的取值范围为 .
(III)解:由(II)知,函数 在区间 与 内都是增函数。
由题设,函数 内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(II),参数时 时, .要使不等式 关于参数 恒成立,必有 ,即 .
综上,解得 或 .
所以 的取值范围是 .
例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a -1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数 的定义域为 ,且
(1)当 时, 函数 在 上单调递减,
(2)当 时,由 解得
、 随 的变化情况如下表
- 0 +
极小值 从上表可知
当 时, 函数 在 上单调递减.
当 时, 函数 在 上单调递增.
综上所述:当 时,函数 在 上单调递减.
当 时,函数 在 上单调递减,函数 在 上单调递增.
例12.(2006年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值 ,其导函数 的图象经过点 , ,如图所示.求:
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(Ⅰ) 的值;
(Ⅱ) 的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在 上 ,在 上 ,在 上 ,
故 在 上递增,在 上递减,
因此 在 处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由 即 得
所以
例13.(2006年湖北卷)设 是函数 的一个极值点.
(Ⅰ)求 与 的关系式(用 表示 ),并求 的单调区间;
(Ⅱ)设 , .若存在 使得 成立,求 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又 在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+ ,(a2+ )e4],
由于(a2+ )-(a+6)=a2-a+ =( )2≥0,所以只须仅须
(a2+ )-(a+6)<1且a>0,解得0<a< .
故a的取值范围是(0, ).
例14 (2007年全国二)
已知函数
在 处取得极大值,在 处取得极小值,且 .
(1)证明 ;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数 的导数 .
(Ⅰ)由函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值,知 是 的两个根.
所以
当 时, 为增函数, ,由 , 得 .
(Ⅱ)在题设下, 等价于 即 .
化简得 .
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线: .
所围成的 的内部,其三个顶点分别为: .
在这三点的值依次为 .
所以 的取值范围为 .
小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合.
考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15. (2007年重庆文)
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
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