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导数题的解题技巧,
二、13.解析:根据导数的定义:f′(x0)= (这时 )
答案:-1
14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n!
答案:n!
15.解析:函数的定义域是x> 或x<-2,f′(x)= .(3x2+5x-2)′= ,
①若a>1,则当x> 时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在( ,+∞)上是增函数,x<-2时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.
②若0<a<1,则当x> 时,f′(x)<0,∴f(x)在( ,+∞)上是减函数,当x<-2时,
f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数.
答案:(-∞,-2)
16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO=R+ ,解得
x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为
S=x·h=
从而
.
令S′=0,解得h= R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表如下:
h (0, R)
R
( ,2R) S′ + 0 -
S 增函数 最大值 减函数
由此表可知,当x= R时,等腰三角形面积最大.
答案: R
三、17. 解:由l过原点,知k= (x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3x02+2x0,
∴ =x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
又k= ,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0或x0= .
由x≠0,知x0= ,
∴y0=( )3-3( )2+2· =- .∴k= =- .
∴l方程y=- x 切点( ,- ).
18. ,
令f'(x)=0得,x=0,x=1,x= ,
在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0, .
∴ .
19.设双曲线上任一点P(x0,y0),
,
∴ 切线方程 ,
令y=0,则x=2x0
令x=0,则 .
∴ .
20.解:(1)注意到y>0,两端取对数,得
lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,
(2)两端取对数,得
ln|y|= (ln|x|-ln|1-x|),
两边解x求导,得
21.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5- ,当下端移开1.4 m时,t0= ,
又s′=- (25-9t2) ·(-9·2t)=9t ,
所以s′(t0)=9× =0.875(m/s).
22.解:(1)当x=1时,Sn=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1),当x≠1时,1+2x+3x2+…+nxn-1= ,两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn= 两边对x求导,得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
= .
23.解:f′(x)=3ax2+1.
若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.
若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,∵f′(x)=3a(x+ )·(x- ),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a<0且单调减区间为(-∞,- )和( ,+∞),
单调增区间为(- , ).
24.解:f′(x)= +2bx+1,
(1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且 +4b+1=0,
解方程组可得a=- ,b=- ,∴f(x)=- lnx- x2+x,
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(2)f′(x)=- x-1- x+1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,故在x=1处函数f(x)取得极小值 ,在x=2处函数取得极大值 - ln2.
25.证法一:∵b>a>e,∴要证ab>ba,只要证blna>alnb,设f(b)=blna-alnb(b>e),则
f′(b)=lna- .∵b>a>e,∴lna>1,且 <1,∴f′(b)>0.∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ab>ba.
证法二:要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b ,即证 ,设f(x)= (x>e),则f′(x)= <0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
∴f(a)>f(b),即 ,∴ab>ba.
26.解:(1)f(α)= ,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2-ax-2,则当α<x<β时,φ(x)<0,
.
∴函数f(x)在(α,β)上是增函数.
(3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2.
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