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变中思 析中悟──“平行四边形”复习课摘要,
在四边形这一节内容的复习中，重点目标是：使学生全面并熟练掌握平行四边形（包括各种特殊平行四边形）的性质和判定．本堂课通过对两道典型例题的“变”或“析”，不仅能使学生熟练掌握平行四边形这一节的重点知识，而且对学生学习数学兴趣的培养、分析问题和解决问题能力的提高，都有一定的帮助，且能使学生从中领悟到一定的数学道理，取得良好的效应．
一、
变
例1 已知：
□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，M、N分别是OA、OC的中点．求证BM＝DN．
本题运用平行四边形的性质及全等三角形知识容易证明．当学生完成例1的证明后，我对本题作如下改变，让学生讨论：
1.
结论不变条件变
若不改结论和其它条件，只改变“M、N分别是OA、OC的中点”这条件，就有下列变化：
1.在AC上取AM＝CN，如图1．
2.在AC上取OM＝ON，如图2.
3.分别过B、D作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，如图3.
4.在AC上任取点M，连AM，过点D作BM∥DN，如图4.
5.分别以B、D为顶点，作∠1＝∠2，如图5.
6.分别以B、D为顶点，作∠3＝∠4，如图6.
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学生通过简短的分析与讨论，很快得出结论：在平行四边形的条件下，只要点M、N都在对角线AC上，且BM∥DN，都能证明BM＝DN这个事实．在此基础上，我还进一步提问：若将例1中的条件“
□ABCD”分别变为“矩形ABCD、菱形ABCD或正方形ABCD”，其它条件不变，原结论还成立吗？为什么？若将例1中的条件“
□ABCD”分别变为“矩形ABCD、菱形ABCD或正方形ABCD”，其它条件也分别作上述6种变化，原结论还成立吗？为什么？
2
.条件不变结论变
为进一步培养学生的发散思维能力，我换个角度进行提问：本题若在所有条件不变且充分利用这些条件（不再增加其它条件）的情况下，你还能得出哪些结论（全体学生又展开了热烈的讨论）？得到的结论大致有：
1. AM＝CN＝OM＝ON；2.△ABM≌△DCN；3.△BOM≌△DON；4.∠BMO＝∠DNO；5.∠ABM＝∠CDN；6.
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；7.△ABM与△DCN关于点O中心对称．
这样，在变中思，在变中议，在变中悟，学生不仅较好的掌握了平行四边形的相关知识，而且还进一步体会到了“万变不离其宗”的道理．
二、析
例2 如图7，在正方形ABCD中，M为CD中点，DF⊥AM，交AC于E，交BC于F，求证：∠CME＝∠DMA．
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析1：依常规思路，要证角（或线段）相等，常证它们所在的两个三角形全等．如图7，由于∠CME与∠DMA所在的两个三角形，在不作辅助线的情形下，是不可能全等的．引导学生观察图形特征，不难发现，∠CME与∠CFE可能相等，而∠CFE与∠AMD可能相等，因此，需证∠CME＝∠CFE及∠CFE＝∠AMD，即需证△CME≌△CFE及△DCF≌△ADM．而事实上，倘若△CME≌△CFE，则有CF＝CM＝DM，从而△DCF≌△ADM，现在的问题是，要证△DCF与△ADM全等，只有2个条件：AD＝DC，∠ADM＝∠DCF＝Rt∠，显然还需证明∠DAM＝∠CDF，这由条件DF⊥AM，注意到直角三角形两锐角的互关系便能证得，故此路可行．
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析2：由前分析知，虽然∠CME与∠DMA所在的两个三角形不能直接找到，但可构造它们所在的三角形，一般地，在遇到正方形中给出一条对角线时，常连另一条对角线．如图8，连结BD，交AM于P，交AC于O，看△MEC与△MPD是否全等，由条件，知DM ＝CM，∠MCE＝∠MDP＝45
，显然需证CE＝DP，而CE与DP所在的三角形△CED与△DPA运用“SAS公理”是不难证明全等的．故此路亦可行．
分析后由学生独立写出证明过程，检查发现，学生基本上能联想正方形的性质等几何知识进行正确解答．继而我给出一个悬念让学生课后思考：若把例2中的条件“在正方形ABCD中”变为“在菱形ABCD中”，其它条件不变，结论不成立吗？在矩形中呢？在任意平行四边形中呢？提出这样的问题让学生思考，虽然结论不再成立，但有助于学生对各种特殊平行四边形性质的回顾和区别．
至此，本堂课的教学目标已基本达到，最后我让学生自编一道与平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）相关的证明题（要求每个学生的所编的题不完全相同）作为本堂课的课外作业.
教者感言：在教学中我们不仅要注意到一题多解，还应当重视一题多变．这样，不仅能更好的培养学生分析问题和解决问题的能力，而且能寓教于乐之中，从而培养学生学习数学的浓厚兴趣．就本堂课而言，若依次把平行四边形（包括各种特殊平行四边形）的性质、判定逻列出来，再出些各种类型的题目给学生分析和练习，就显得死板；而以一题多变为主要形式展开讨论，让学生自已得出结论，不仅能解决问题，而且能充分调动他们学习的主动性，激发学生学习数学的兴趣，在不知不觉的过程中全面并熟练掌握了平行四边形（包括各种特殊平行四边形）的性质和判定，自然而然的达到了本堂课的教学目标．
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