14.3.2一次函数与一元一次不等式

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14.3.2一次函数与一元一次不等式

教学目标

①     理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等

式的求解问题.

②学习用函数的观点看待不等式的方法,初步形成用全面的观点处理局部问题的思想.

③经历不等式与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.

教学重点与难点

重点：一次函数与一元一次不等式的关系的理解.

难点：利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集.

教学设计

复习引新

通过上节课的学习,我们已经知道,“解一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时,y=ax+b的值为0”是同一个问题.现在我们来看看：

(1)以下两个问题是不是同一个问题?

①解不等式：2x-4>0

②当x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?

此处对教科书上引例稍作改变,让学生顺着上节课的思维,用类似的观点处理不等式问题.

(2)你如何利用图象来说明②?(师生对以上两个问题一起议论,一起得出结论)

注:当y取值从上节课的等于0变成了这节课的大于0,相应的x值也由一个定值变成一个范围；如何在图象上看,对学生来说需要思维的跳跃.

(3)“解不等式2x-4<0”可以与怎样的一次函数问题是同一的?怎样在图象上加以说明?

这里安排(3)是及时巩固,使学生对y<O时x值的确定有进一步的理解.

阅读讨论

(1)让学生阅读教科书P.40 内容,读后分组讨论：

你是如何思考书上提出的问题的?你是如何理解书上最后一段的结论的?

让学生在讨论与思考中得出一般性结论.

(2)师生共同归纳.

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.

新知应用

1.根据下列一次函数的图象,你能求出哪些不等式的解集?并直接写出相应不等式的解集.

(1)                   (2)

(对每一题都能写出四种情况(>0,<0,≥0,≤O),

让学生在充分理解的基础上写出对应的x的取值范围.先小组内交流,然后反馈矫正.

注:此处练习为补充.在没有涉及完整的图象法解一元一次不等式以前设计这样的练习,使画图象这一已会的过程暂时忽略,突出函数与不等式关系这一重点.同时进一步熟悉利用图象确定解集的方法.

解：

(1)(略)

(2)由图象可以得出：

-x+3>0的解集是x<3；-x+3<0的解集是x>3；

-x+3≥0的解集是x≤3；-x+3≤0的解是x≥3

2.如上图,利用y=- x+5的图象,

(1)求出- x+5=0的解；

(2)求出- x+5>0的解集；

(3)求出- x+5≤0的解集

(4)你能求出- x+5>3的解集吗?

(5)你还能求出哪些不等式的解集呢?

解：(略)

注:第2题同样是突出本节课重点内容的一种设计.(4)(5)小题为拓展开放.

小结反思

通过以上的分析和练习,我们知道,对于一般的一元一次不等式ax+6>0,它与一次函数的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切.具体见如下框图：

从数的角度看：

求ax+b>0(a≠0)的解 x为何值时y=ax+b的值大于0

从形的角度看：

求ax+b>0(a≠0)的解 确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值

对于<0、≥0、≤0的情况,让学生自己口述,使其真正理解.

注:数形结合,揭示本质.

此处归纳放在教科书P.41例2讲解以前,可以居高临下地看待具体问题的求解,特别是对该题解法2的理解.

例题讲解

教科书P.41 例2(略)

注:例题讲解重思路和步骤分析

解法1：

分析：将不等式转化为一般形式,再画出对应的一次函数的图象,就是我们已会的求解了.

(解答过程见教科书)

解法2：

分析：

(1)  如果不将原不等式转化,能否用图象法解决呢?

(2)不等式两边都是一次函数的表达式,因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题.

(3)如何在图象上比较两个一次函数的大小呢?

(4)如何确定不等式的解集呢?

(解答过程见教科书)

归纳(见教科书P.41 )

注:点明图象法解方程、不等式既是需要,也很便利.

教师补充归纳：当画图象成为一种自觉,成为一种习惯的时候,用图象法解方程,解不等式就很直观、形象,而且对于数学的后续学习很重要.实际上,计算机完全可以代替手工绘制图象,只要输入一个解析式,就可出来一个精确的图象.

巩固练习

教科书P.142 练习第1、2题.

注:学生独立完成,及时巩固.

布置作业

1.必做题

教科书P.145 习题11.3第3、4题.

教学反思

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