标签：八年级数学教学设计大全,http://www.lexue88.com
平行四边形较难练习题,
1、已知：平行四边形ABCD中，E在AC上，AE=2EC,F在AB上，BF=2AF，若△BEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是___________.
2、平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°,AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2CD，则∠AED＝_________
3、在平行四边形ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连OB，求证：∠AOB＝∠COB。
![]()
4、在等腰△ABC的腰AB上取一点D，另一腰AC的延长线上取一点E，使CE＝BD，连DE，求证：DE﹥BC。（提示：构造平行四边形！）
5、如图，线段AB＝CD，AB、CD相交于点O，且∠AOC＝60°，
求证：AC+BD﹥AB。（提示：构造平行四边形！）
再复习一下平行四边形：
平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．
由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
(1)平行四边形对角相等，邻角互补；
(2)平行四边形对边平行且相等；
(3)平行四边形对角线互相平分．
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例1 如图2-32所示．在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
![]()
分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
证 因为ABCD是平行四边形，所以
AD BC，AB CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，
ME=NF． ①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，
所以 MF=NF． ②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
![]()
分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而
△ABG≌△HBG(AAS)，
所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，
∠ABE=∠CBE，BE=BE，
所以 △ABE≌△HBE(SAS)，
所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面证明四边形EHCF是平行四边形．
因为AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
从而
EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以
FC=EH=AE．
说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．
www.lexue88.com
此题也可以过E作EH∥AC交BC于H，证法类似，但少作一条辅助线，更简洁一些。
人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．
例3 如图2-34所示． ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．
![]()
证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，
所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知
∠F=∠MDC，
又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，
则
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
从而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
，平行四边形较难练习题
