轴对称性质的应用教案

教学目的:
    (1)加深学生对轴对称性质的理解,使他们学会利用这些性质去解决有关问题.
    (2)通过对范例的分析、讲解,培养和训练学生解决问题的正确思想方法,达到启迪智慧,提高能力的目的.
    教学难点:
    难点是实际问题的应用,关键是理解实际问题应用的理论依据,建立相应的数学模型
    教学过程:
    一、 复习提问
    师:轴对称图形的概念的内容是什么?
    生:把一个图形沿着一某一条直线折过来,如果它能够与另一个图形重合,我们就着说这两个图形是轴对称。
    师:轴对称图形具有什么性质?
    生:轴对称图形具有两条性质:
    (1)图形上对应点的连线被轴垂直平分;
    (2)在轴对称下,对应线段或对应直线若相交,其交点必在对称轴上.
    师:上节课,我们作一个图形的轴对称图形,正是依据了这一逆定理.
    二、讲解新课
    师:今天,我们要应用上述性质来解决一个实际问题.
    [例1] 如图1,在铁路a的同侧有两个工厂A、B,要在路边建一个货场C,使A、B两厂到货场C的距离的和最小.问点C的位置如何选择?
    师:同学们若仔细考虑一下,不难发现,例1实质上是一个求最短路线的实际问题,如果用数学语言叙述就是:已知直线a的同侧有A、B两点,现欲在a上作出一点C,使AC+CB为最小.
    (请知道的同学举手,统计人数,以后分析一步都要求举次手,以便做比较)
    (让学生准备白纸一张,在教师的启发下作出点C.)
    师:对同学们来说,这是一个陌生的问题,可能会感到无从下手.现在,我们不妨这样来思考:
    (教师取出在透明纸上事先画好的图2放在幻灯机上.)
    师:若A、B是直线a两侧的已知点,现要在a上作出一点C,使AC+CB为最小,怎么办呢?请同学们在白纸上作出点C.
    生:这个问题容易解决,连结AB,设其交直线a于点C,则点C即为所求.
    师:对,很好。若将纸片的下半部分沿直线a向上旋转一个角度,此时A、B两点不在同一个平面上了,如图3所示.试在直线a上求一点C,使AC+CB为最小.譬如大家可设想有一小虫,在纸面上要从A点爬到B点,问它沿怎样路线爬才最近?
    生:将纸片的下半面绕直线a旋转回图2的情况(即将原纸片展平),在展平后的纸面上连结AB,设其交a于点C,则点C即为所求.
    [将特殊情况推广到一般情况,也是数学中常用的思考问题的方法,让学生从初中起就受到这一训练,对提高他们的能力是大有好处的.]
    师:若将图3中直线a下方的半个纸面继续沿直线a旋转,直至与上半面叠合(教师边讲边演示),这时A、B即处于直线a的同侧了(图4).
    大家很容易看出图4实际上是图3的另一种特殊情况.显然,其解可用一般方法来求得.即:将含有点A的半个面,沿直线a旋转,使其变为图2的情形,再求解.用数学语言可描述如下:作点A关于直线a的对称点A',连结A'B,设其交直线a于点C,则C点即为所求的点.
    师:请同学们作出点C并具体地写出作法.
    师:由轴对称的性质1可以知道,对称轴是对应点连线的垂直平分线,即相互对称的点到轴上任一点的距离相等.因而,当考虑某一点和轴上的点之间的距离时,这个点可以用它的对称点来"代换".如本例,当用点A来考虑问题感到困难时,便可用点A的轴对称点A'来"代换".由于"代换"后,点A'和点A到轴上任一点的距离都相等,故AC=A'C,因而原问题中对AC+CB最小的要求,可变换成对A'C+CB最小的要求.由于A'和B此时已处于a的两侧,因而变换后的新问题成了一个显而易见的问题,这就最终达到了我们解决原问题的目的.
    下面,大家利用轴对称的这条性质来证明我们作出的点C确是符合要求的.
    三、小结
    这节课,我们重点讲解了轴对称性质的应用.轴对称的两条性质是利用轴对称解决问题的基础,应深刻理解和掌握.将一个图形变为它的对称图形,我们称为"对称变换",利用这种"变换",我们常常可以将原问题变得更加简单和直观.关于这方面的知识,我们在今后的学习中还会碰到.
    四、作业
    1.讨论题:如图,若在本节所讲的例1中,将作法改为:
    (1)作点B关于直线a的对称点B';
    (2)连结AB'交a于点D.
    试问这样作出的点D和原作法中的点C是否重合?为什么?